9991是质数吗,9991是质数吗.

在讨论速算法之前,我们先讨论普通乘法。速算法好比险峻的高山,我们可以选择不去攀登,但普通乘法好比家门口的大马路,天天都要走,不能回避。

介绍一下普通乘法的心算。请看下图:

991是质数吗,9991是质数吗."

这个算法其实就是整式乘法的具体运用。相当于下面的恒等式

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

接下来我们看一个速算法的例子。两个比100略小的数相乘,例如92×96如何速算?

先看小学老师教的竖式笔算法。

991是质数吗,9991是质数吗."

再看七年级同学知道的整式乘法。

(90+2)(90+6)=902+6×90+2×90+2×6

=8100+8×90+12

=8100+720+12

=8832

这个算法可以再优化一下。请看:

原式=(100-8)(100-4)

=1002-4×100-8×100+4×8

=10000-1200+32

=8832

再看网红速算法。

100-92=8,100-96=4,

100-8-4=88,4×8=32

所以,92×96=8832

4和8称为补数

这个速算法为什么能够成立?知其然还要知其所以然。请看下面的剖析图:

991是质数吗,9991是质数吗."

总结一下,速算能够成功,那是因为它建立在恒等式的基础上。让我们把躲在速算背后的恒等式找出来。

这两个比100略小的数,可以用100-a和100-b来表示,可得

(100-a)(100-b)=100(100-a-b)+ab

由于补数a和b是可正可负的整数,所以上面的恒等式适用范围比较广。

可以速算两个整数相乘,一个比100略大,一个比100略小。例如103×95

a=-3,b=5,所以

原式=100(100+3-5)-15

=9800-15

=9785

可以速算速算两个整数相乘,两个比100略大。例如102×107

a=-2,b=-7,所以

原式=100(100+2+7)+14

=10900+14

=10914

这个恒等式还可以推广到一般情况:

(10?-a)(10?-b)=10?(10?-a-b)+ab

上式右边第一项包含的括号,正是一个乘数减去另一个乘数的补数,括号外的10?是添0数,起到了添0占位的作用。右边第二项ab,显然是两个补数的乘积。

举个例子,995×1046

1046-5=1041,补3个0得1041000,5×(-46)=-230,所以答案是1041000-230=1040770

别的速算法背后也躲着一个恒等式。举几个例子。

利用平方差公式的速算法:

603×597=(600+3)(600-3)=6002-32=359991

782-772=(78+77)(78-77)=155

利用(a+b)2=a2+2ab+b2=a(a+2b)+b2速算:

752=(70+5)2=70×80+25=5625

再推广一下,可得

(a+b)[a+(10-b)]=a(a+10)+b(10-b)

可以速算两个头同尾互补的两位数的乘积。例如76×74=70×80+6×4=5624

平方数的速算法

利用完全平方公式及其特例

(a±1)2=a2±2a+1

例如612=(60+1)2=602+2×60+1=3721

利用(50±x)2=2500±100x+x2=100(25±x)+x2速算:

542=(50+4)2=100(25+4)+42=2916

532=(50+3)2=100(25+3)+32=2809(注意添0占位)

462=(50-4)2=100(25-4)+42=2116

如何速算272呢?注意到27=54÷2,所以有

272=542÷4=2916÷4=729

利用(100±x)2=10000±200x+x2=100(100±2x)+x2速算:适合计算90~110之间的整数的平方。

例如,1042=104+4的后面续写16,即10816

942=94-6的后面续写36,即8836

还可以利用其它恒等式来进行速算。例如,a2=a2-b2+b2=(a+b)(a-b)+b2

再比如(a+b)2=(a-b)2+4ab

科学尚未普及,媒体还需努力。感谢阅读,再见。

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